Técnicas del análisis funcional en algunas álgebras de convolución en operadores de convolución

Información del Documento

  • Titulo

    Técnicas del análisis funcional en algunas álgebras de convolución en operadores de convolución
  • Autor (es) / Colaborador(es)

    Walter AlexanderEspinoza Rangel
  • Institución

    Universidad de Los Andes - Facultad de Ciencias - Postgrado en Matemáticas
  • Tipo Documento

    Tesis doctoral
  • Resumen

    En este trabajo nos proponemos realizar un estudio de un operador de convolución muy particular como lo es el operador de Wiener-Hopf definido en diferentes espacios de Banach, tales como el espacio de Lebesgue, espacios potenciales de Bessel y los espacios de Besov, que además son álgebras de Banach, todo esto con la finalidad de obtener condiciones necesarias y/o suficientes para que el operador de Wiener-Hopf sea un operador de Fredholm o semifredholm, mostrando además la representación de su inverso. Así mismo, mostrar bajo que condiciones el operador de convolución definido en espacios de Besov es acotado. Para el estudio de los operadores de convolución se ha estudiado algunos aspectos de álgebras de Banach y en particular las álgebras de convolución, es por esta razón que en los resultados obtenidos en [5] el capítulo 1, está dedicado a mostrar cuáles álgebras de Banach clásicas son isomorfas a un álgebra de convolución o a un álgebra de grupo. En especial ver cuál de estas álgebras de convolución son isomorfas a L1 (G), donde G es un grupo localmente compacto dotado con la medida de Haar, y además demostrar cuál de las álgebras de Banach Clásicas infinito dimensionales no son isomorfas a L1(G) para cualquier grupo topológico localmente compacto G. De este capítulo resalta el álgebra de Banach ∫q(LP)(ℝ) (ver el trabajo realizado en [5]), que será el álgebra de definición de los operadores en estudio del capítulo 4 de esta investigación. El capítulo 2 sentará las bases teóricas para el desarrollo del siguiente capítulo en lo que a operadores de convolución definidos en la semirrecta se refiere, así corno caso particular de un operador de convolución se define el operador de Wiener-Hopf, que es un operador de convolución definido en la semirecta mostrando, sus propiedades .Y utilizando las técnicas del análisis armónico para conseguir las condiciones necesarias y suficientes para que un operador de tipo convolución satisfaga ciertas propiedades de regularidad. Luego, en el capítulo 3 y gracias a los resultados presentados en el capítulo anterior podemos comentar el trabajo realizado en [4] y en [9] donde se considera un operador de Wiener-Hopf definido en espacios potenciales de Bessel, utilizando como herramientas la relación de equivalencia entre operadores por medio de la propiedad de levantamiento y el método de acoplamiento. Todo esto para lograr ver cuándo este operador definido en los espacios potenciales de Bessel es invertible o no y ver cuáles son las propiedades de regularidad que se satisfacen. Finalmente, en el capítulo 4 tomando en cuenta el álgebra de convolución ∫q(LP)(ℝ) definida en el capítulo 1, se define un operador de convolución Τ en los espacios de tipo Besov y definidos en los espacio ∫q(LP)(ℝ) ver [5] para más detalles. Por último, la exposición de este capítulo se basa en la presentación y resultados obtenidos en [6].En este trabajo nos proponemos realizar un estudio de un operador de convolución muy particular como lo es el operador de Wiener-Hopf definido en diferentes espacios de Banach, tales como el espacio de Lebesgue, espacios potenciales de Bessel y los espacios de Besov, que además son álgebras de Banach, todo esto con la finalidad de obtener condiciones necesarias y/o suficientes para que el operador de Wiener-Hopf sea un operador de Fredholm o semifredholm, mostrando además la representación de su inverso. Así mismo, mostrar bajo que condiciones el operador de convolución definido en espacios de Besov es acotado. Para el estudio de los operadores de convolución se ha estudiado algunos aspectos de álgebras de Banach y en particular las álgebras de convolución, es por esta razón que en los resultados obtenidos en [5] el capítulo 1, está dedicado a mostrar cuáles álgebras de Banach clásicas son isomorfas a un álgebra de convolución o a un álgebra de grupo. En especial ver cuál de estas álgebras de convolución son isomorfas a L1 (G), donde G es un grupo localmente compacto dotado con la medida de Haar, y además demostrar cuál de las álgebras de Banach Clásicas infinito dimensionales no son isomorfas a L1(G) para cualquier grupo topológico localmente compacto G. De este capítulo resalta el álgebra de Banach ∫q(LP)(ℝ) (ver el trabajo realizado en [5]), que será el álgebra de definición de los operadores en estudio del capítulo 4 de esta investigación. El capítulo 2 sentará las bases teóricas para el desarrollo del siguiente capítulo en lo que a operadores de convolución definidos en la semirrecta se refiere, así corno caso particular de un operador de convolución se define el operador de Wiener-Hopf, que es un operador de convolución definido en la semirecta mostrando, sus propiedades .Y utilizando las técnicas del análisis armónico para conseguir las condiciones necesarias y suficientes para que un operador de tipo convolución satisfaga ciertas propiedades de regularidad. Luego, en el capítulo 3 y gracias a los resultados presentados en el capítulo anterior podemos comentar el trabajo realizado en [4] y en [9] donde se considera un operador de Wiener-Hopf definido en espacios potenciales de Bessel, utilizando como herramientas la relación de equivalencia entre operadores por medio de la propiedad de levantamiento y el método de acoplamiento. Todo esto para lograr ver cuándo este operador definido en los espacios potenciales de Bessel es invertible o no y ver cuáles son las propiedades de regularidad que se satisfacen. Finalmente, en el capítulo 4 tomando en cuenta el álgebra de convolución ∫q(LP)(ℝ) definida en el capítulo 1, se define un operador de convolución Τ en los espacios de tipo Besov y definidos en los espacio ∫q(LP)(ℝ) ver [5] para más detalles. Por último, la exposición de este capítulo se basa en la presentación y resultados obtenidos en [6].